MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x4+4P(x) = x^4 + 4. Să se descompună în factori ireductibili peste R\mathbb{R} și să se determine rădăcinile complexe, exprimându-le atât sub formă algebrică cât și trigonometrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se observă că x4+4=(x2+2)2−(2x)2=(x2+2x+2)(x2−2x+2)x^4 + 4 = (x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2x+2)(x^2-2x+2).
23 puncte
Rezolvând ecuațiile pătratice x2+2x+2=0x^2+2x+2=0 și x2−2x+2=0x^2-2x+2=0, se obțin rădăcinile x1=−1+ix_1 = -1+i, x2=−1−ix_2 = -1-i, x3=1+ix_3 = 1+i, x4=1−ix_4 = 1-i.
33 puncte
Forma trigonometrică: pentru x1=−1+ix_1 = -1+i, modulul este 2\sqrt{2}, argumentul 3π4\frac{3\pi}{4}, deci 2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right); x2=2(cos⁡5π4+isin⁡5π4)x_2 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right); x3=2(cos⁡π4+isin⁡π4)x_3 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right); x4=2(cos⁡7π4+isin⁡7π4)x_4 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.