MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul R(X)=X4−10X3+35X2−50X+24R(X) = X^4 - 10X^3 + 35X^2 - 50X + 24. Știind că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică, determinați rădăcinile și scrieți polinomul sub formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Fie rădăcinile x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 în progresie aritmetică. Notăm x1=a−3dx_1 = a - 3d, x2=a−dx_2 = a - d, x3=a+dx_3 = a + d, x4=a+3dx_4 = a + 3d, unde aa este mijlocul și dd rația.
22 puncte
Din relațiile Viète, suma rădăcinilor este 1010, deci (a−3d)+(a−d)+(a+d)+(a+3d)=4a=10(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 4a = 10, de unde a=52a = \frac{5}{2}.
33 puncte
Suma pătratelor rădăcinilor este x12+x22+x32+x42=(a−3d)2+(a−d)2+(a+d)2+(a+3d)2=4a2+20d2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = (a-3d)^2 + (a-d)^2 + (a+d)^2 + (a+3d)^2 = 4a^2 + 20d^2. Din Viète, suma pătratelor = (suma)^2 - 2(sumă produse câte două) = 102−2⋅35=3010^2 - 2 \cdot 35 = 30. Deci 4a2+20d2=304a^2 + 20d^2 = 30. Cu a=52a = \frac{5}{2}, avem 4⋅(52)2+20d2=304 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 20d^2 = 30, adică 25+20d2=3025 + 20d^2 = 30, de unde 20d2=520d^2 = 5, d2=14d^2 = \frac{1}{4}, deci d=±12d = \pm \frac{1}{2}.
42 puncte
Pentru d=12d = \frac{1}{2}, rădăcinile sunt 52−32=1\frac{5}{2} - \frac{3}{2} = 1, 52−12=2\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2, 52+12=3\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3, 52+32=4\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4. Ordinea rădăcinilor nu este importantă.
51 punct
Polinomul factorizat este R(X)=(X−1)(X−2)(X−3)(X−4)R(X) = (X-1)(X-2)(X-3)(X-4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.