MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Determinați valorile parametrului real kk pentru care polinomul P(x)=x3−3x+kP(x) = x^3 - 3x + k are exact două rădăcini reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata: P′(x)=3x2−3=3(x2−1)P'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1). Punctele critice sunt x=1x=1 și x=−1x=-1.
24 puncte
Pentru ca P(x)P(x) să aibă o rădăcină dublă, trebuie ca P(c)=0P(c)=0 și P′(c)=0P'(c)=0 pentru un punct critic cc. Verificați pentru c=1c=1: P(1)=1−3+k=k−2P(1)=1-3+k=k-2, P′(1)=0P'(1)=0, deci k−2=0⇒k=2k-2=0 \Rightarrow k=2. Pentru c=−1c=-1: P(−1)=−1+3+k=k+2P(-1)=-1+3+k=k+2, P′(−1)=0P'(-1)=0, deci k+2=0⇒k=−2k+2=0 \Rightarrow k=-2.
33 puncte
Pentru k=2k=2, P(x)=x3−3x+2=(x−1)2(x+2)P(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2), are rădăcinile 11 (dublă) și −2-2. Pentru k=−2k=-2, P(x)=x3−3x−2=(x+1)2(x−2)P(x)=x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2), are rădăcinile −1-1 (dublă) și 22. În ambele cazuri, există exact două rădăcini reale distincte. Pentru alte valori ale lui kk, polinomul are fie trei rădăcini reale distincte, fie o rădăcină reală simplă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.