MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Se consideră polinomul P(X)=X4−4X3+6X2−4X+2P(X) = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 2 cu coeficienți reali. Să se verifice că 1+i1+i este rădăcină a polinomului, să se determine toate rădăcinile complexe ale acestuia și să se calculeze suma S=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+∣z4∣2S = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + |z_4|^2, unde z1,z2,z3,z4z_1, z_2, z_3, z_4 sunt rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează P(1+i)P(1+i) folosind proprietățile numerelor complexe: (1+i)2=2i(1+i)^2 = 2i, (1+i)3=2i(1+i)=2i−2(1+i)^3 = 2i(1+i) = 2i - 2, (1+i)4=(2i)2=−4(1+i)^4 = (2i)^2 = -4. Înlocuind în P(X)P(X), se obține P(1+i)=−4−4(2i−2)+6(2i)−4(1+i)+2=0P(1+i) = -4 - 4(2i - 2) + 6(2i) - 4(1+i) + 2 = 0, deci 1+i1+i este rădăcină.
24 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, 1−i1-i este și ea rădăcină. Se formează polinomul (X−(1+i))(X−(1−i))=X2−2X+2(X - (1+i))(X - (1-i)) = X^2 - 2X + 2. Se împarte P(X)P(X) la acest polinom și se obține câtul X2−2X+1X^2 - 2X + 1. Astfel, P(X)=(X2−2X+2)(X2−2X+1)P(X) = (X^2 - 2X + 2)(X^2 - 2X + 1). Se rezolvă ecuațiile: X2−2X+2=0X^2 - 2X + 2 = 0 are rădăcinile 1±i1 \pm i, iar X2−2X+1=0X^2 - 2X + 1 = 0 are rădăcina dublă x=1x = 1.
33 puncte
Se calculează suma S=∣1+i∣2+∣1−i∣2+∣1∣2+∣1∣2S = |1+i|^2 + |1-i|^2 + |1|^2 + |1|^2. Avem ∣1+i∣2=12+12=2|1+i|^2 = 1^2 + 1^2 = 2, ∣1−i∣2=2|1-i|^2 = 2, și ∣1∣2=1|1|^2 = 1, deci S=2+2+1+1=6S = 2 + 2 + 1 + 1 = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.