MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)=x3+mx2+nx+pP(x)=x^3+mx^2+nx+p un polinom cu rădăcinile x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Dacă x1+x2+x3=3x_1+x_2+x_3=3, x12+x22+x32=5x_1^2+x_2^2+x_3^2=5 și x13+x23+x33=9x_1^3+x_2^3+x_3^3=9, să se afle m,n,pm, n, p.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm S1=x1+x2+x3=−mS_1 = x_1+x_2+x_3 = -m, S2=x1x2+x2x3+x3x1=nS_2 = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = n, S3=x1x2x3=−pS_3 = x_1x_2x_3 = -p.
23 puncte
Din identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)=S12−2S2x_1^2+x_2^2+x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) = S_1^2 - 2S_2. Avem S1=3S_1=3 și x12+x22+x32=5x_1^2+x_2^2+x_3^2=5, deci 5=9−2S25=9-2S_2, adică S2=2S_2=2.
33 puncte
Din formula x13+x23+x33=S13−3S1S2+3S3x_1^3+x_2^3+x_3^3 = S_1^3 - 3S_1S_2 + 3S_3. Avem x13+x23+x33=9x_1^3+x_2^3+x_3^3=9, S1=3S_1=3, S2=2S_2=2, deci 9=27−18+3S39=27 - 18 + 3S_3, adică 3S3=03S_3=0, deci S3=0S_3=0.
42 puncte
Atunci m=−S1=−3m=-S_1=-3, n=S2=2n=S_2=2, p=−S3=0p=-S_3=0. Polinomul este P(x)=x3−3x2+2xP(x)=x^3-3x^2+2x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.