MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+px+qP(x) = x^3 + px + q cu rădăcinile complexe a,b,ca, b, c. Dacă a2+b2+c2=10a^2 + b^2 + c^2 = 10 și a3+b3+c3=30a^3 + b^3 + c^3 = 30, să se determine coeficienții reali pp și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem relațiile lui Viete pentru polinomul de gradul 3: a+b+c=0a+b+c=0, ab+ac+bc=pab+ac+bc=p, abc=−qabc=-q.
23 puncte
Folosim identitatea a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+ac+bc)a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+ac+bc). Înlocuind valorile, obținem 10=02−2p⇒p=−510 = 0^2 - 2p \Rightarrow p=-5.
34 puncte
Folosim identitatea a3+b3+c3=3abc+(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)a^3+b^3+c^3 = 3abc + (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab-ac-bc). Înlocuind, avem 30=3(−q)+0⋅(10−p)⇒−3q=30⇒q=−1030 = 3(-q) + 0 \cdot (10 - p) \Rightarrow -3q=30 \Rightarrow q=-10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.