MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c un polinom cu coeficienți reali. Știind că P(1+i)=0P(1+i) = 0 și P(1)=2P(1) = 2, unde i2=−1i^2 = -1, să se determine a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții polinomului sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină.
24 puncte
Scriem polinomul sub forma P(x)=(x−(1+i))(x−(1−i))(x−r)=(x2−2x+2)(x−r)P(x) = (x - (1+i))(x - (1-i))(x - r) = (x^2 - 2x + 2)(x - r).
33 puncte
Folosim condiția P(1)=2P(1)=2: (12−2⋅1+2)(1−r)=(1−2+2)(1−r)=1⋅(1−r)=1−r=2(1^2 - 2\cdot1 + 2)(1 - r) = (1 - 2 + 2)(1 - r) = 1 \cdot (1 - r) = 1 - r = 2, deci r=−1r = -1. Atunci P(x)=(x2−2x+2)(x+1)=x3+x2−2x2−2x+2x+2=x3−x2+2P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x + 1) = x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x + 2x + 2 = x^3 - x^2 + 2. Comparând cu x3+ax2+bx+cx^3 + ax^2 + bx + c, obținem a=−1a = -1, b=0b = 0, c=2c = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.