MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu rădăcinile x1,x2,x3∈Cx_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}. Dacă x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3, x12+x22+x32=5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5, și x13+x23+x33=9x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 9, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți relațiile lui Viete pentru polinomul cubic: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = b, x1x2x3=−cx_1x_2x_3 = -c.
23 puncte
Calculați sumele simetrice elementare folosind identități algebrice: din x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1), obțineți 5=32−2S5 = 3^2 - 2S, unde S=x1x2+x2x3+x3x1S = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1, deci S=2S = 2.
34 puncte
Folosiți suma x13+x23+x33=9x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 9 și identitatea x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−3(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x3x1)+3x1x2x3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 - 3(x_1 + x_2 + x_3)(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) + 3x_1x_2x_3 pentru a obține 9=33−3⋅3⋅2+3T9 = 3^3 - 3 \cdot 3 \cdot 2 + 3T, unde T=x1x2x3T = x_1x_2x_3, deci T=2T = 2. Apoi, deduceți coeficienții: a=−3a = -3, b=2b = 2, c=−2c = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.