MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Considerând polinomul P(x)=x3−3x2+4x−2P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2, demonstrați că acesta are o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate, calculați suma pătratelor rădăcinilor sale, și găsiți polinomul ale cărui rădăcini sunt suma și produsul rădăcinilor complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se verifică că P(1)=0P(1)=0, deci x=1x=1 este rădăcină reală. Prin împărțire, P(x)=(x−1)(x2−2x+2)P(x) = (x-1)(x^2 - 2x + 2).
23 puncte
Rădăcinile lui x2−2x+2x^2 - 2x + 2 sunt 1+i1 + i și 1−i1 - i, deci sunt complexe conjugate. Folosind relațiile lui Vietè pentru PP, suma rădăcinilor este 33, suma produselor două câte două este 44. Atunci r12+r22+r32=(r1+r2+r3)2−2(r1r2+r1r3+r2r3)=9−8=1r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (r_1+r_2+r_3)^2 - 2(r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) = 9 - 8 = 1.
34 puncte
Fie r1=1r_1=1 rădăcina reală, r2=1+ir_2=1+i, r3=1−ir_3=1-i. Atunci r2+r3=2r_2 + r_3 = 2 și r2r3=(1+i)(1−i)=2r_2 r_3 = (1+i)(1-i) = 2. Polinomul cu rădăcinile 22 și 22 este Q(x)=(x−2)2=x2−4x+4Q(x) = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.