MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceIdentități algebrice
Determinați polinomul de gradul trei P(X)P(X) cu coeficienți reali, știind că rădăcinile sale sunt în progresie geometrică, suma lor este 7, iar produsul lor este 8.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Notăm rădăcinile polinomului în progresie geometrică: x1=aqx_1 = \frac{a}{q}, x2=ax_2 = a, x3=aqx_3 = aq, unde aa este termenul mijlociu și qq rația.
22 puncte
Din produsul rădăcinilor, avem a3=8a^3 = 8, deci a=2a = 2.
33 puncte
Din suma rădăcinilor, avem 2q+2+2q=7\frac{2}{q} + 2 + 2q = 7, care se simplifică la 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0, obținând q=2q = 2 sau q=12q = \frac{1}{2}.
52 puncte
Pentru ambele valori ale lui qq, rădăcinile sunt aceleași mulțime {1,2,4}\{1, 2, 4\} (pentru q=2q=2: 1,2,41,2,4; pentru q=12q=\frac{1}{2}: 4,2,14,2,1). Folosind formulele lui Viete, polinomul este P(X)=X3−7X2+14X−8P(X) = X^3 - 7X^2 + 14X - 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.