MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este rădăcină a polinomului și că P(0)=6P(0) = 6, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și scrieți polinomul în formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină.
23 puncte
Din P(0)=6P(0)=6, avem c=6c=6.
33 puncte
Folosind relațiile lui Viete, produsul rădăcinilor este −c=−6-c = -6. Cu r1=1+ir_1=1+i, r2=1−ir_2=1-i, avem r1r2=(1+i)(1−i)=2r_1 r_2 = (1+i)(1-i)=2, deci 2⋅r3=−62 \cdot r_3 = -6, unde r3r_3 este a treia rădăcină. Rezultă r3=−3r_3 = -3.
42 puncte
Suma rădăcinilor este −a:r1+r2+r3=(1+i)+(1−i)+(−3)=−1-a: r_1 + r_2 + r_3 = (1+i)+(1-i)+(-3) = -1, deci a=1a=1. Suma produselor a câte două rădăcini este b:r1r2+r1r3+r2r3=2+(1+i)(−3)+(1−i)(−3)=2−3−3i−3+3i=−4b: r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = 2 + (1+i)(-3) + (1-i)(-3) = 2 - 3 - 3i - 3 + 3i = -4, deci b=−4b=-4. Polinomul factorizat este P(x)=(x−(1+i))(x−(1−i))(x+3)=(x2−2x+2)(x+3)P(x) = (x - (1+i))(x - (1-i))(x + 3) = (x^2 - 2x + 2)(x + 3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.