MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateSisteme de Ecuații Liniare
Fie polinomul f(X)=X4−6X3+11X2+aX+bf(X) = X^4 - 6X^3 + 11X^2 + aX + b. Știind că f(X)f(X) se divide cu (X−1)2(X-1)^2, determinați coeficienții reali aa și bb, apoi rezolvați ecuația f(x)=0f(x)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece f(X)f(X) se divide cu (X−1)2(X-1)^2, avem f(1)=0f(1)=0 și f′(1)=0f'(1)=0.
23 puncte
Calculăm f(1)=1−6+11+a+b=a+b+6f(1) = 1 - 6 + 11 + a + b = a + b + 6 și f′(X)=4X3−18X2+22X+af'(X) = 4X^3 - 18X^2 + 22X + a, deci f′(1)=4−18+22+a=a+8f'(1) = 4 - 18 + 22 + a = a + 8. Obținem sistemul: {a+b+6=0a+8=0\begin{cases} a + b + 6 = 0 \\ a + 8 = 0 \end{cases}.
32 puncte
Rezolvăm sistemul: din a doua ecuație, a=−8a = -8, apoi din prima, −8+b+6=0⇒b=2-8 + b + 6 = 0 \Rightarrow b = 2.
42 puncte
Polinomul devine f(X)=X4−6X3+11X2−8X+2f(X) = X^4 - 6X^3 + 11X^2 - 8X + 2. Observăm că f(1)=0f(1)=0, deci îl împărțim la (X−1)2=X2−2X+1(X-1)^2 = X^2 - 2X + 1: f(X)=(X2−2X+1)(X2−4X+2)=(X−1)2(X2−4X+2)f(X) = (X^2 - 2X + 1)(X^2 - 4X + 2) = (X-1)^2 (X^2 - 4X + 2). Ecuația f(x)=0f(x)=0 are rădăcina x=1x=1 dublă și rădăcinile din x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0, adică x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.