MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul P(x)=x3−3x+1P(x) = x^3 - 3x + 1. Să se demonstreze că ecuația P(x)=0P(x) = 0 are trei rădăcini reale distincte și să se calculeze suma pătratelor acestor rădăcini.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Studiem funcția f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1. Derivata f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1). Punctele critice sunt x=−1x=-1 și x=1x=1. Calculăm f(−1)=3f(-1)=3 și f(1)=−1f(1)=-1. Deoarece lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty și lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, iar ff este continuă, aplicăm teorema valorii intermediare: există o rădăcină în (−∞,−1)(-\infty, -1), una în (−1,1)(-1,1) și una în (1,∞)(1, \infty), deci trei rădăcini reale distincte.
23 puncte
Pentru ecuația x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0, relațiile lui Viete dau suma rădăcinilor S1=0S_1 = 0, suma produselor a câte două S2=−3S_2 = -3, și produsul S3=−1S_3 = -1.
33 puncte
Suma pătratelor rădăcinilor este S12−2S2=02−2(−3)=6S_1^2 - 2S_2 = 0^2 - 2(-3) = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.