MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali și rădăcinile x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Se știe că x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0 și x12+x22+x32=1x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1. Demonstrați că a=0a = 0 și exprimați S=x14+x24+x34S = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 în funcție de bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din relațiile lui Viete, a=−(x1+x2+x3)a = -(x_1 + x_2 + x_3). Cum x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0, rezultă a=0a = 0.
24 puncte
Folosind identitatea (x1+x2+x3)2=x12+x22+x32+2(x1x2+x2x3+x3x1)(x_1 + x_2 + x_3)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1), avem 0=1+2b0 = 1 + 2b, deci b=−12b = -\frac{1}{2}.
33 puncte
Calculăm S=x14+x24+x34S = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4. Folosim că S=(x12+x22+x32)2−2(x12x22+x22x32+x32x12)S = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2 - 2(x_1^2 x_2^2 + x_2^2 x_3^2 + x_3^2 x_1^2). Dar x12x22+x22x32+x32x12=(x1x2+x2x3+x3x1)2−2x1x2x3(x1+x2+x3)=b2−2c⋅0=b2x_1^2 x_2^2 + x_2^2 x_3^2 + x_3^2 x_1^2 = (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)^2 - 2x_1 x_2 x_3 (x_1 + x_2 + x_3) = b^2 - 2c \cdot 0 = b^2. Astfel, S=12−2b2=1−2(−12)2=1−12=12S = 1^2 - 2b^2 = 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.