MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x4+1P(x) = x^4 + 1. Să se determine toate rădăcinile complexe ale ecuației P(x)=0P(x) = 0 și să se calculeze suma S=α2+β2+γ2+δ2S = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2, unde α,β,γ,δ\alpha, \beta, \gamma, \delta sunt rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Rezolvarea ecuației x4=−1x^4 = -1 în mulțimea numerelor complexe. Se scrie −1=cos⁡(π)+isin⁡(π)-1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi), deci rădăcinile sunt xk=cos⁡(π+2kπ4)+isin⁡(π+2kπ4)x_k = \cos\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right) pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3. Calcul explicit: x0=22+i22x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, x1=−22+i22x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, x2=−22−i22x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, x3=22−i22x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}.
23 puncte
Calculul pătratelor rădăcinilor. x02=(22+i22)2=ix_0^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = i, x12=−ix_1^2 = -i, x22=ix_2^2 = i, x32=−ix_3^2 = -i.
33 puncte
Suma S=i+(−i)+i+(−i)=0S = i + (-i) + i + (-i) = 0. Se poate observa că suma pătratelor rădăcinilor pentru polinomul x4+1x^4 + 1 este 0, conform relațiilor dintre coeficienți și rădăcini.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.