MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeProgresii Geometrice
Fie polinomul P(X)=X3+pX2+qX+rP(X) = X^3 + pX^2 + qX + r cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este rădăcină a lui PP și că rădăcinile sale sunt în progresie geometrică, determinați polinomul PP.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, din faptul că 1+i1+i este rădăcină, rezultă că 1−i1-i este de asemenea rădăcină. Fie tt a treia rădăcină.
23 puncte
Rădăcinile sunt în progresie geometrică; considerăm că ele pot fi aranjate ca 1+i,t,1−i1+i, t, 1-i (sau permutări echivalente). Din condiția de progresie geometrică, t2=(1+i)(1−i)=2t^2 = (1+i)(1-i) = 2, deci t=2t = \sqrt{2} sau t=−2t = -\sqrt{2}.
32 puncte
Folosind relațiile lui Vieta: suma rădăcinilor S=(1+i)+t+(1−i)=2+t=−pS = (1+i) + t + (1-i) = 2 + t = -p, deci p=−2−tp = -2 - t; suma produselor două câte două P=(1+i)t+t(1−i)+(1+i)(1−i)=2t+2=qP = (1+i)t + t(1-i) + (1+i)(1-i) = 2t + 2 = q; produsul rădăcinilor R=(1+i)t(1−i)=2t=−rR = (1+i)t(1-i) = 2t = -r, deci r=−2tr = -2t.
42 puncte
Pentru t=2t = \sqrt{2}, avem p=−2−2p = -2 - \sqrt{2}, q=22+2q = 2\sqrt{2} + 2, r=−22r = -2\sqrt{2}, deci P(X)=X3+(−2−2)X2+(22+2)X−22P(X) = X^3 + (-2-\sqrt{2})X^2 + (2\sqrt{2}+2)X - 2\sqrt{2}. Pentru t=−2t = -\sqrt{2}, avem p=−2+2p = -2 + \sqrt{2}, q=−22+2q = -2\sqrt{2}+2, r=22r = 2\sqrt{2}, deci P(X)=X3+(−2+2)X2+(−22+2)X+22P(X) = X^3 + (-2+\sqrt{2})X^2 + (-2\sqrt{2}+2)X + 2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.