MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)=x4−4x3+ax2+bx+cP(x) = x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + c. Determinați coeficienții a,b,ca, b, c știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie geometrică și că P(1)=0P(1)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie rădăcinile r,rq,rq2,rq3r, rq, rq^2, rq^3 în progresie geometrică cu rația qq.
23 puncte
Din formulele lui Viete, suma rădăcinilor este r+rq+rq2+rq3=4r + rq + rq^2 + rq^3 = 4, deoarece coeficientul lui x3x^3 este −4-4. Astfel, r(1+q+q2+q3)=4r(1+q+q^2+q^3)=4.
32 puncte
Condiția P(1)=0P(1)=0 dă 1−4+a+b+c=01 - 4 + a + b + c = 0, deci a+b+c=3a + b + c = 3.
42 puncte
Din P(1)=0P(1)=0, rezultă că 1 este o rădăcină, deci fie r=1r=1, fie rq=1rq=1, etc. Considerăm r=1r=1. Atunci din suma rădăcinilor, 1+q+q2+q3=41+q+q^2+q^3=4, deci q3+q2+q−3=0q^3+q^2+q-3=0. Factorizăm: (q−1)(q2+2q+3)=0(q-1)(q^2+2q+3)=0. Ecuația q2+2q+3=0q^2+2q+3=0 nu are soluții reale, deci q=1q=1. Atunci rădăcinile sunt 1,1,1,11,1,1,1, iar P(x)=(x−1)4=x4−4x3+6x2−4x+1P(x)=(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1. Prin urmare, a=6a=6, b=−4b=-4, c=1c=1, și verifică a+b+c=3a+b+c=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.