MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Polinomul P(x)P(x) de gradul trei are rădăcinile în progresie aritmetică. Dacă P(1)=8P(1) = 8, P(2)=27P(2) = 27, și P(3)=64P(3) = 64, să se determine polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca a−da-d, aa, a+da+d și scriem P(x)=(x−(a−d))(x−a)(x−(a+d))P(x) = (x - (a-d))(x - a)(x - (a+d)).
23 puncte
Dezvoltăm expresia pentru a obține P(x)=x3−3ax2+(3a2−d2)x−a(a2−d2)P(x) = x^3 - 3a x^2 + (3a^2 - d^2)x - a(a^2 - d^2).
33 puncte
Înlocuim x=1,2,3x=1,2,3 în P(x)P(x) și obținem sistemul: 1−3a+(3a2−d2)−a(a2−d2)=81 - 3a + (3a^2 - d^2) - a(a^2 - d^2) = 8, 8−12a+2(3a2−d2)−a(a2−d2)=278 - 12a + 2(3a^2 - d^2) - a(a^2 - d^2) = 27, 27−27a+3(3a2−d2)−a(a2−d2)=6427 - 27a + 3(3a^2 - d^2) - a(a^2 - d^2) = 64. Simplificăm sistemul la ecuații liniare în aa și dd.
42 puncte
Rezolvăm sistemul simplificat și găsim a=2a=2 și d=1d=1 (sau d=−1d=-1). Obținem rădăcinile 1,2,31, 2, 3 și polinomul P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)=x3−6x2+11x−6P(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.