MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul f=X3+aX2+bX+cf = X^3 + aX^2 + bX + c, cu coeficienți reali, care are rădăcinile x1x_1, x2x_2, x3x_3. Știind că x1=2−ix_1 = 2 - i și că suma pătratelor rădăcinilor este 6, determinați coeficienții aa, bb, cc și celelalte două rădăcini ale polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă x1=2−ix_1 = 2 - i este rădăcină, atunci și conjugata sa x2=2+ix_2 = 2 + i este rădăcină.
23 puncte
Folosind relațiile lui Viète pentru suma rădăcinilor: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a. Dar x1+x2=(2−i)+(2+i)=4x_1 + x_2 = (2-i)+(2+i)=4, deci 4+x3=−a4 + x_3 = -a, adică x3=−a−4x_3 = -a -4.
33 puncte
Din suma pătratelor rădăcinilor: x12+x22+x32=6x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 6. Calculăm x12=(2−i)2=4−4i+i2=3−4ix_1^2 = (2-i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 3 - 4i, x22=(2+i)2=4+4i+i2=3+4ix_2^2 = (2+i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i. Așadar, (3−4i)+(3+4i)+x32=6(3-4i)+(3+4i)+x_3^2 = 6, deci 6+x32=66 + x_3^2 = 6, de unde x32=0x_3^2 = 0, adică x3=0x_3 = 0.
42 puncte
Din x3=0x_3 = 0 și x3=−a−4x_3 = -a -4, rezultă −a−4=0-a -4 = 0, deci a=−4a = -4. Atunci rădăcinile sunt x1=2−ix_1 = 2-i, x2=2+ix_2 = 2+i, x3=0x_3 = 0. Folosind relațiile lui Viète: a=−4a = -4 (deja găsit), b=x1x2+x1x3+x2x3=((2−i)(2+i)+0+0)=(4−i2)=5b = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = ((2-i)(2+i) + 0 + 0) = (4 - i^2) = 5, c=−x1x2x3=−((2−i)(2+i)⋅0)=0c = - x_1 x_2 x_3 = - ( (2-i)(2+i) \cdot 0 ) = 0. Polinomul este f=X3−4X2+5Xf = X^3 -4X^2 + 5X.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.