MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Se consideră polinomul P(x)=x3+px+qP(x) = x^3 + px + q cu coeficienți reali. Știind că P(1+i)=0P(1+i) = 0, unde i2=−1i^2 = -1, determinați celelalte două rădăcini ale polinomului și valorile reale ale lui pp și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină.
23 puncte
Notăm rădăcinile x1=1+ix_1 = 1+i, x2=1−ix_2 = 1-i, x3=rx_3 = r. Folosind relațiile lui Viète pentru polinomul x3+0x2+px+qx^3 + 0x^2 + px + q, avem x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0, x1x2+x1x3+x2x3=px_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = p, x1x2x3=−qx_1 x_2 x_3 = -q.
32 puncte
Calculăm x1+x2=2x_1 + x_2 = 2, x1x2=(1+i)(1−i)=12−i2=2x_1 x_2 = (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 2. Din x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0, obținem 2+r=02 + r = 0, deci r=−2r = -2.
42 puncte
Din x1x2+x1x3+x2x3=px_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = p, avem 2+(1+i)(−2)+(1−i)(−2)=2−2−2i−2+2i=−22 + (1+i)(-2) + (1-i)(-2) = 2 -2 -2i -2 +2i = -2, deci p=−2p = -2.
51 punct
Din x1x2x3=−qx_1 x_2 x_3 = -q, avem 2⋅(−2)=−4=−q2 \cdot (-2) = -4 = -q, deci q=4q = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.