MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică și că suma pătratelor rădăcinilor este 14, iar produsul rădăcinilor este -6, să se determine coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Notăm rădăcinile polinomului ca x1=d−r,x2=d,x3=d+rx_1 = d-r, x_2 = d, x_3 = d+r (progresie aritmetică).
21 punct
Scriem condițiile din enunț: x12+x22+x32=14x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 14 și x1x2x3=−6x_1 x_2 x_3 = -6.
31 punct
Exprimăm suma pătratelor: 3d2+2r2=143d^2 + 2r^2 = 14.
42 puncte
Exprimăm produsul: d(d2−r2)=−6d(d^2 - r^2) = -6.
52 puncte
Din aceste două ecuații, obținem 5d3−14d+12=05d^3 - 14d + 12 = 0.
62 puncte
Rezolvăm ecuația; observăm că d=−2d=-2 este soluție, deci d=−2d=-2, apoi din d(d2−r2)=−6d(d^2 - r^2) = -6 găsim r2=1r^2=1, deci r=±1r=\pm1.
71 punct
Rădăcinile sunt −3,−2,−1-3, -2, -1. Folosind relațiile lui Viète, S1=−a=−6S_1 = -a = -6, deci a=6a=6; S2=b=11S_2 = b = 11; S3=−c=−6S_3 = -c = -6, deci c=6c=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.