MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul Q(z)=z4+az3+bz2+az+1Q(z) = z^4 + az^3 + bz^2 + az + 1, unde a,b∈Ca, b \in \mathbb{C}. Dacă toate rădăcinile ecuației Q(z)=0Q(z) = 0 au modulul egal cu 1, demonstrați că aa și bb sunt numere reale și determinați o relație între aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observăm că Q(z)=z4Q(1/z)Q(z) = z^4 Q(1/z) pentru z≠0z \neq 0. Dacă Q(z)=0Q(z) = 0, atunci Q(1/z)=0Q(1/z) = 0, deci 1/z1/z este și el rădăcină.
23 puncte
Cum toate rădăcinile au modulul 1, ∣z∣=1|z| = 1, deci 1/z=z‾1/z = \overline{z}, conjugatul complex. Astfel, rădăcinile sunt perechi de numere complexe conjugate.
33 puncte
Fie rădăcinile z1,z2,z3,z4z_1, z_2, z_3, z_4. Din relațiile lui Viete, suma rădăcinilor este −a-a și suma produselor câte două este bb. Deoarece rădăcinile sunt perechi conjugate, aceste sume sunt numere reale, deci aa și bb sunt reali. Pentru a găsi o relație, notăm pentru orice rădăcină zz, w=z+1/zw = z + 1/z, care este real. Din Q(z)=0Q(z)=0, împărțind la z2z^2, obținem z2+1/z2+a(z+1/z)+b=0z^2 + 1/z^2 + a(z + 1/z) + b = 0, adică w2−2+aw+b=0w^2 - 2 + a w + b = 0, sau w2+aw+(b−2)=0w^2 + a w + (b-2) = 0. Pentru ca această ecuație să aibă soluții reale ww, discriminantul trebuie să fie nenegativ: a2−4(b−2)≥0a^2 - 4(b-2) \geq 0, deci a2≥4b−8a^2 \geq 4b - 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.