MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Se consideră polinomul P(x)=x3−4x2+6x−4P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4. Arătați că 1+i1 + i este o rădăcină a acestui polinom și determinați celelalte două rădăcini. Calculați apoi valoarea expresiei E=1x1+1x2+1x3E = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}, unde x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt rădăcinile lui P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm că P(1+i)=0P(1+i) = 0 prin calcul direct: (1+i)3−4(1+i)2+6(1+i)−4=(1+3i+3i2+i3)−4(1+2i+i2)+6+6i−4=(1+3i−3−i)−4(1+2i−1)+2+6i=(−2+2i)−4(2i)+2+6i=−2+2i−8i+2+6i=0(1+i)^3 - 4(1+i)^2 + 6(1+i) - 4 = (1 + 3i + 3i^2 + i^3) - 4(1 + 2i + i^2) + 6 + 6i - 4 = (1 + 3i - 3 - i) - 4(1 + 2i - 1) + 2 + 6i = (-2 + 2i) - 4(2i) + 2 + 6i = -2 + 2i - 8i + 2 + 6i = 0.
23 puncte
Folosim faptul că polinoamele cu coeficienți reali au rădăcini complexe conjugate, deci 1−i1-i este și ea rădăcină. Împărțim P(x)P(x) la (x−(1+i))(x−(1−i))=x2−2x+2(x - (1+i))(x - (1-i)) = x^2 - 2x + 2 sau folosim relațiile lui Viete: suma rădăcinilor este 4, deci a treia rădăcină este 4−(1+i)−(1−i)=24 - (1+i) - (1-i) = 2.
34 puncte
Pentru P(x)=x3−4x2+6x−4P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4, relațiile lui Viete dau: x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, x1x2+x1x3+x2x3=6x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 6, x1x2x3=4x_1 x_2 x_3 = 4. Atunci E=1x1+1x2+1x3=x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3=64=32E = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{x_1 x_2 x_3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.