MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x4−2x3+3x2−2x+2P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2. Știind că P(x)P(x) are o rădăcină complexă z=1+iz = 1 + i, determinați toate rădăcinile polinomului și descompuneți-l în factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm că polinomul are coeficienți reali, deci dacă z=1+iz=1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa z‾=1−i\overline{z}=1-i este rădăcină.
23 puncte
Formăm factorul pătratic corespunzător rădăcinilor 1+i1+i și 1−i1-i: (x−(1+i))(x−(1−i))=x2−2x+2(x - (1+i))(x - (1-i)) = x^2 - 2x + 2.
33 puncte
Împărțim polinomul P(x)P(x) la x2−2x+2x^2 - 2x + 2 folosind diviziunea polinomială sau identificarea coeficienților, obținând P(x)=(x2−2x+2)(x2+1)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 1).
42 puncte
Determinăm rădăcinile: din x2−2x+2=0x^2 - 2x + 2 = 0 avem x=1±ix = 1 \pm i, iar din x2+1=0x^2 + 1 = 0 avem x=±ix = \pm i. Descompunerea în factori ireductibili peste R\mathbb{R} este P(x)=(x2−2x+2)(x2+1)P(x) = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.