MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul f=X4−4X3+6X2−4X+5f = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 5. Știind că ff are o rădăcină complexă z1=1+2iz_1 = 1 + 2i, determinați celelalte trei rădăcini. Arătați că polinomul g=X4−4X3+6X2−4X+1g = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 1 are toate rădăcinile reale și calculați suma pătratelor rădăcinilor lui gg.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții lui ff sunt reali, rădăcina complexă z1=1+2iz_1=1+2i are conjugata z1‾=1−2i\overline{z_1}=1-2i tot rădăcină. Atunci polinomul este divizibil cu (X−(1+2i))(X−(1−2i))=X2−2X+5(X-(1+2i))(X-(1-2i)) = X^2 - 2X + 5. Efectuăm împărțirea lui ff la X2−2X+5X^2-2X+5: f=(X2−2X+5)(X2−2X+1)=(X2−2X+5)(X−1)2f = (X^2-2X+5)(X^2 - 2X + 1) = (X^2-2X+5)(X-1)^2. Deci rădăcinile lui ff sunt 1+2i1+2i, 1−2i1-2i, și 11 (dublă).\n
23 puncte
Polinomul g=X4−4X3+6X2−4X+1g = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 1 se obține din ff scăzând 4: g=f−4=(X2−2X+5)(X−1)2−4g = f - 4 = (X^2-2X+5)(X-1)^2 - 4. Observăm că g=(X−1)4g = (X-1)^4, deoarece (X−1)4=X4−4X3+6X2−4X+1(X-1)^4 = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 1, identic cu gg. Toate rădăcinile lui gg sunt egale cu 1 (rădăcină reală de ordin 4).\n
32 puncte
Suma pătratelor rădăcinilor lui gg: dacă rădăcinile sunt x1=x2=x3=x4=1x_1=x_2=x_3=x_4=1, atunci x12+x22+x32+x42=1+1+1+1=4x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 = 1+1+1+1=4. Alternativ, folosind relațiile lui Viète pentru gg: suma rădăcinilor S1=4S_1=4, suma pătratelor S2=S12−2∑i<jxixj=16−2⋅6=4S_2 = S_1^2 - 2\sum_{i<j} x_i x_j = 16 - 2\cdot6 = 4, deoarece ∑i<jxixj=6\sum_{i<j} x_i x_j = 6 din coeficientul lui X2X^2.\n
42 puncte
Verificare: g(1)=0g(1)=0, deci toate rădăcinile sunt reale și egale, iar suma pătratelor este 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.