MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații NeliniareIdentități algebrice
Rezolvați sistemul de ecuații: {x2+y2+z2=14x+y+z=6x3+y3+z3=36\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\ x+y+z = 6 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 36 \end{cases} pentru x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm S=x+y+zS = x+y+z, P=xy+yz+zxP = xy+yz+zx, Q=xyzQ = xyz. Din sistem, avem S=6S=6.
23 puncte
Folosind identitatea x2+y2+z2=S2−2Px^2+y^2+z^2 = S^2 - 2P, obținem 14=62−2P⇒14=36−2P⇒2P=22⇒P=1114 = 6^2 - 2P \Rightarrow 14 = 36 - 2P \Rightarrow 2P = 22 \Rightarrow P=11.
33 puncte
Folosind identitatea x3+y3+z3=S3−3SP+3Qx^3+y^3+z^3 = S^3 - 3SP + 3Q, obținem 36=63−3⋅6⋅11+3Q⇒36=216−198+3Q⇒36=18+3Q⇒3Q=18⇒Q=636 = 6^3 - 3 \cdot 6 \cdot 11 + 3Q \Rightarrow 36 = 216 - 198 + 3Q \Rightarrow 36 = 18 + 3Q \Rightarrow 3Q = 18 \Rightarrow Q=6.
42 puncte
Polinomul cu rădăcinile x,y,zx, y, z este t3−St2+Pt−Q=t3−6t2+11t−6=0t^3 - St^2 + Pt - Q = t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0. Rezolvând, găsim rădăcinile t=1,t=2,t=3t=1, t=2, t=3. Deci soluțiile sistemului sunt (1,2,3)(1,2,3) și permutările acestora.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.