MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie polinomul P(X)=X4+aX3+bX2+cX+dP(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale sunt numere complexe conjugate două câte două și că suma pătratelor rădăcinilor este 10, iar produsul rădăcinilor este 4, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți relațiile lui Viete pentru polinomul de gradul 4: dacă x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 sunt rădăcinile, atunci x1+x2+x3+x4=−ax_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -a, x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = b, x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=−cx_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -c, x1x2x3x4=dx_1 x_2 x_3 x_4 = d.
23 puncte
Folosind faptul că rădăcinile sunt conjugate două câte două, notați rădăcinile ca x1=p+qi,x2=p−qi,x3=r+si,x4=r−six_1 = p+qi, x_2 = p-qi, x_3 = r+si, x_4 = r-si cu p,q,r,s∈Rp,q,r,s \in \mathbb{R}. Atunci, suma pătratelor rădăcinilor este ∑xi2=(p+qi)2+(p−qi)2+(r+si)2+(r−si)2=2(p2−q2)+2(r2−s2)=10\sum x_i^2 = (p+qi)^2 + (p-qi)^2 + (r+si)^2 + (r-si)^2 = 2(p^2 - q^2) + 2(r^2 - s^2) = 10 și produsul este (p2+q2)(r2+s2)=4(p^2+q^2)(r^2+s^2) = 4.
34 puncte
Rezolvați sistemul: 2(p2−q2+r2−s2)=102(p^2 - q^2 + r^2 - s^2) = 10 și (p2+q2)(r2+s2)=4(p^2+q^2)(r^2+s^2) = 4. Presupunând simetria, de exemplu p=rp=r și q=sq=s, obțineți 4(p2−q2)=10⇒p2−q2=2.54(p^2 - q^2) = 10 \Rightarrow p^2 - q^2 = 2.5 și (p2+q2)2=4⇒p2+q2=2(p^2+q^2)^2 = 4 \Rightarrow p^2+q^2 = 2. Rezolvând, p2=2.25,q2=−0.25p^2 = 2.25, q^2 = -0.25 (imposibil pentru q2≥0q^2 \ge 0), deci ajustați: luați p2+q2=2p^2+q^2=2 și p2−q2=2.5p^2-q^2=2.5, adunând 2p2=4.5⇒p2=2.25,q2=−0.252p^2=4.5 \Rightarrow p^2=2.25, q^2=-0.25 nevalid. În realitate, din p2+q2=2p^2+q^2=2 și p2−q2=2.5p^2-q^2=2.5, rezultă p2=2.25,q2=−0.25p^2=2.25, q^2=-0.25, deci nu există soluții reale pentru qq, indicând o eroare în presupunere. Corect: nu se poate presupune p=rp=r și q=sq=s. În loc, folosiți relațiile lui Viete direct: din ∑xi=−a=2(p+r)\sum x_i = -a = 2(p+r), ∑xi2=(∑xi)2−2∑i<jxixj=10\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2\sum_{i<j} x_i x_j = 10, și ∏xi=d=(p2+q2)(r2+s2)=4\prod x_i = d = (p^2+q^2)(r^2+s^2)=4. Cu ∑xi=S\sum x_i = S, ∑xi2=S2−2P′=10\sum x_i^2 = S^2 - 2P' = 10 unde P′=∑i<jxixj=bP' = \sum_{i<j} x_i x_j = b. Dar avem doar ∑xi2\sum x_i^2 și ∏xi\prod x_i. Setați u=p2+q2u = p^2+q^2, v=r2+s2v = r^2+s^2, atunci u+v=?u+v = ? din ∑xi2=2(p2−q2+r2−s2)=2((p2+q2)−2q2+(r2+s2)−2s2)=2(u+v−2(q2+s2))=10\sum x_i^2 = 2(p^2 - q^2 + r^2 - s^2) = 2((p^2+q^2) - 2q^2 + (r^2+s^2) - 2s^2) = 2(u+v - 2(q^2+s^2)) = 10. Nu este direct. Mai simplu: din ∑xi2=10\sum x_i^2 = 10 și ∏xi=4\prod x_i = 4, cu rădăcini conjugate, x1x2=p2+q2x_1 x_2 = p^2+q^2, x3x4=r2+s2x_3 x_4 = r^2+s^2, deci (p2+q2)(r2+s2)=4 (p^2+q^2)(r^2+s^2)=4. Pentru ∑xi2\sum x_i^2, (p+qi)2+(p−qi)2=2(p2−q2) (p+qi)^2 + (p-qi)^2 = 2(p^2 - q^2), similar pentru r,sr,s, deci 2(p2−q2+r2−s2)=10⇒p2−q2+r2−s2=52(p^2 - q^2 + r^2 - s^2)=10 \Rightarrow p^2 - q^2 + r^2 - s^2 = 5. Notați A=p2+q2A = p^2+q^2, B=r2+s2B = r^2+s^2, atunci A+B=p2+q2+r2+s2A+B = p^2+q^2+r^2+s^2 și p2−q2+r2−s2=(p2+q2)−2q2+(r2+s2)−2s2=A+B−2(q2+s2)=5p^2 - q^2 + r^2 - s^2 = (p^2+q^2) - 2q^2 + (r^2+s^2) - 2s^2 = A+B - 2(q^2+s^2) = 5. Avem AB=4AB=4. Din A+B−2(q2+s2)=5A+B - 2(q^2+s^2)=5, q2+s2=A+B−52q^2+s^2 = \frac{A+B-5}{2}. Dar q2+s2≥0q^2+s^2 \ge 0, deci A+B≥5A+B \ge 5. Cu AB=4AB=4, AA și BB sunt rădăcinile ecuației t2−(A+B)t+4=0t^2 - (A+B)t + 4=0. Pentru a avea soluții reale, (A+B)2≥16(A+B)^2 \ge 16. Alegem A+B=6A+B=6 (de exemplu), atunci t2−6t+4=0⇒t=3±5t^2 -6t+4=0 \Rightarrow t=3\pm\sqrt{5}, deci A=3+5A=3+\sqrt{5}, B=3−5B=3-\sqrt{5} sau invers. Atunci q2+s2=6−52=0.5q^2+s^2 = \frac{6-5}{2} = 0.5. Acum, din A=p2+q2A=p^2+q^2, B=r2+s2B=r^2+s^2, avem p2=A−q2p^2 = A - q^2, r2=B−s2r^2 = B - s^2. Pentru simplitate, luați q2=s2=0.25q^2=s^2=0.25, atunci p2=A−0.25p^2 = A-0.25, r2=B−0.25r^2 = B-0.25. Cu A=3+5≈5.236A=3+\sqrt{5} \approx 5.236, B=3−5≈0.764B=3-\sqrt{5} \approx 0.764, p2≈4.986p^2 \approx 4.986, r2≈0.514r^2 \approx 0.514. Atunci ∑xi=2(p+r)=−a\sum x_i = 2(p+r) = -a. Pentru a găsi a,b,c,da,b,c,d, folosiți Viete: x1+x2+x3+x4=2(p+r)x_1+x_2+x_3+x_4 = 2(p+r), x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=(p2+q2)+(r2+s2)+4pr=A+B+4pr=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = (p^2+q^2) + (r^2+s^2) + 4pr = A+B+4pr = b, x1x2x3+...=−cx_1 x_2 x_3 + ... = -c, x1x2x3x4=AB=4=dx_1 x_2 x_3 x_4 = AB=4=d. Calculați prpr din p2p^2 și r2r^2, de exemplu pr=p2r2pr = \sqrt{p^2 r^2}. Dar pentru valori concrete, alegeți p=A−0.25p=\sqrt{A-0.25}, r=B−0.25r=\sqrt{B-0.25}, q=s=0.5q=s=0.5 (deoarece q2=s2=0.25q^2=s^2=0.25). Atunci a=−2(p+r)a = -2(p+r), b=A+B+4prb = A+B+4pr, c=−2pr(p+r)c = -2pr(p+r) (din simetrie), d=4d=4. Pentru a finaliza, dați valori numerice aproximative sau lăsați în funcție de AA și BB.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.