MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Demonstrați că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul Pn(x)=(x+1)2n−x2n−2x−1P_n(x) = (x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 este divizibil cu x2+x+1x^2 + x + 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observăm că polinomul x2+x+1x^2 + x + 1 are rădăcinile complexe ω=−1+i32\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} și ω2=−1−i32\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, unde ω3=1\omega^3 = 1 și ω≠1\omega \neq 1.
24 puncte
Calculăm Pn(ω)=(ω+1)2n−ω2n−2ω−1P_n(\omega) = (\omega+1)^{2n} - \omega^{2n} - 2\omega - 1. Deoarece ω2+ω+1=0\omega^2 + \omega + 1 = 0, avem ω+1=−ω2\omega+1 = -\omega^2, deci Pn(ω)=(−ω2)2n−ω2n−2ω−1=ω4n−ω2n−2ω−1P_n(\omega) = (-\omega^2)^{2n} - \omega^{2n} - 2\omega - 1 = \omega^{4n} - \omega^{2n} - 2\omega - 1. Folosind ω3=1\omega^3 = 1, pentru orice nn, ω4n=ωn\omega^{4n} = \omega^{n} și ω2n=ω2nmod3\omega^{2n} = \omega^{2n mod 3}. Verificăm că Pn(ω)=0P_n(\omega) = 0 analizând cazurile modulo 3. Similar, Pn(ω2)=0P_n(\omega^2) = 0.
34 puncte
Deoarece Pn(ω)=0P_n(\omega) = 0 și Pn(ω2)=0P_n(\omega^2) = 0, iar ω\omega și ω2\omega^2 sunt rădăcinile lui x2+x+1x^2 + x + 1, conform teoremei factorului, polinomul Pn(x)P_n(x) este divizibil cu x2+x+1x^2 + x + 1 pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.