MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Se consideră polinomul P(x)=x3+px2+qx+rP(x) = x^3 + px^2 + qx + r cu coeficienți reali. Rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică. Dacă P(1)=0P(1) = 0 și P(2)=6P(2) = 6, să se determine coeficienții p,q,rp, q, r.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca fiind x1=a−dx_1 = a-d, x2=ax_2 = a, x3=a+dx_3 = a+d, unde aa și dd sunt numere reale.
23 puncte
Folosind relațiile lui Viete, avem: x1+x2+x3=−px_1 + x_2 + x_3 = -p, deci 3a=−p3a = -p; x1x2+x2x3+x3x1=qx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = q, deci 3a2−d2=q3a^2 - d^2 = q; x1x2x3=−rx_1 x_2 x_3 = -r, deci a(a2−d2)=−ra(a^2 - d^2) = -r.
33 puncte
Din condițiile P(1)=0P(1)=0 și P(2)=6P(2)=6, obținem: 1+p+q+r=01 + p + q + r = 0 și 8+4p+2q+r=68 + 4p + 2q + r = 6. Înlocuind expresiile pentru p,q,rp, q, r în funcție de aa și dd, avem sistemul: 1−3a+3a2−d2−a(a2−d2)=01 - 3a + 3a^2 - d^2 - a(a^2 - d^2) = 0 și 8−12a+6a2−2d2−a(a2−d2)=68 - 12a + 6a^2 - 2d^2 - a(a^2 - d^2) = 6.
42 puncte
Simplificăm sistemul. Scăzând prima ecuație din a doua, obținem 7−9a+3a2−d2=67 - 9a + 3a^2 - d^2 = 6, care se reduce la 3a2−9a+1−d2=03a^2 - 9a + 1 - d^2 = 0. Combinând cu prima ecuație, găsim a=1a=1 și d=1d=1. Apoi, p=−3p = -3, q=3q = 3, r=−1r = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.