MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Se știe că rădăcinile sale sunt numere complexe conjugate, că P(1)=10P(1) = 10, P(−1)=−6P(-1) = -6, și că suma rădăcinilor este 2. Determinați polinomul și calculați produsul rădăcinilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din suma rădăcinilor și relațiile Viète, avem −a=2-a = 2, deci a=−2a = -2.
22 puncte
Din P(1)=10P(1) = 10, obținem 1+a+b+c=101 + a + b + c = 10, adică a+b+c=9a + b + c = 9. Cu a=−2a = -2, rezultă −2+b+c=9-2 + b + c = 9, deci b+c=11b + c = 11.
32 puncte
Din P(−1)=−6P(-1) = -6, obținem −1+a−b+c=−6-1 + a - b + c = -6, adică a−b+c=−5a - b + c = -5. Cu a=−2a = -2, avem −2−b+c=−5-2 - b + c = -5, deci c−b=−3c - b = -3.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: b+c=11b + c = 11 și c−b=−3c - b = -3. Adunând ecuațiile, 2c=82c = 8, deci c=4c = 4. Atunci b=7b = 7. Polinomul este P(X)=X3−2X2+7X+4P(X) = X^3 - 2X^2 + 7X + 4.
52 puncte
Produsul rădăcinilor, conform relațiilor Viète, este −c=−4-c = -4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.