MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Se consideră polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c. Știind că rădăcinile polinomului formează o progresie aritmetică cu suma egală cu 9 și că P(1)=24P(1) = 24, să se determine coeficienții a,b,ca, b, c și rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Fie rădăcinile r−d,r,r+dr-d, r, r+d; suma lor este 3r=93r=9, deci r=3r=3.
22 puncte
Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este −a=9-a = 9, deci a=−9a = -9.
32 puncte
Produsul rădăcinilor este −c=(3−d)⋅3⋅(3+d)=27−3d2-c = (3-d) \cdot 3 \cdot (3+d) = 27 - 3d^2, deci c=−27+3d2c = -27 + 3d^2.
42 puncte
Suma produselor rădăcinilor luate câte două este b=(3−d)3+3(3+d)+(3−d)(3+d)=27−d2b = (3-d)3 + 3(3+d) + (3-d)(3+d) = 27 - d^2.
51 punct
Condiția P(1)=24P(1)=24 dă 1+a+b+c=241 + a + b + c = 24, adică 1−9+(27−d2)+(−27+3d2)=241 -9 + (27 - d^2) + (-27 + 3d^2) = 24, simplificând se obține −8+2d2=24-8 + 2d^2 = 24, deci 2d2=322d^2 = 32, d2=16d^2=16, d=±4d=\pm4.
61 punct
Pentru d=4d=4 sau d=−4d=-4, rădăcinile sunt −1,3,7-1, 3, 7 (sau ordinea inversă), iar coeficienții sunt a=−9a=-9, b=11b=11, c=21c=21; polinomul este P(X)=X3−9X2+11X+21P(X) = X^3 - 9X^2 + 11X + 21.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.