MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică, suma rădăcinilor este 6 și produsul rădăcinilor este 8, determinați coeficienții aa, bb și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului cu r−dr-d, rr, r+dr+d, unde rr este termenul median și dd rația progresiei aritmetice. Din suma rădăcinilor, avem (r−d)+r+(r+d)=3r=6(r-d) + r + (r+d) = 3r = 6, deci r=2r=2.
23 puncte
Din produsul rădăcinilor, avem (r−d)⋅r⋅(r+d)=r(r2−d2)=2(4−d2)=8(r-d) \cdot r \cdot (r+d) = r(r^2 - d^2) = 2(4 - d^2) = 8. Rezultă 4−d2=44 - d^2 = 4, deci d2=0d^2 = 0 și d=0d=0.
32 puncte
Rădăcinile sunt toate egale cu 2. Folosind relațiile Viète pentru polinomul cubic: suma rădăcinilor =−a=6⇒a=−6= -a = 6 \Rightarrow a = -6; suma produselor rădăcinilor luate câte două =b=2⋅2+2⋅2+2⋅2=12= b = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 12; produsul rădăcinilor =−c=8⇒c=−8= -c = 8 \Rightarrow c = -8.
42 puncte
Verificare: polinomul devine P(x)=x3−6x2+12x−8=(x−2)3P(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x-2)^3, care are rădăcina 2 cu multiplicitatea 3, în progresie aritmetică cu rația 0, suma 6 și produsul 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.