MediuPolinoameClasa 12

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoamePrimitiveArii și volume
Fie polinomul P(x)=x3−4x2+5x−2P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2. Să se determine primitiva F(x)F(x) a funcției f(x)=P(x)f(x) = P(x) care verifică F(1)=0F(1) = 0. Apoi, să se calculeze aria mărginită de graficul lui ff, axa Ox și dreptele x=0x=0 și x=3x=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsim primitiva generală: F(x)=∫P(x) dx=∫(x3−4x2+5x−2) dx=x44−4x33+5x22−2x+CF(x) = \int P(x) \, dx = \int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x + C.
22 puncte
Din condiția F(1)=0F(1) = 0, avem 14−43+52−2+C=0\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{5}{2} - 2 + C = 0. Calculând, obținem C=512C = \frac{5}{12}, deci F(x)=x44−4x33+5x22−2x+512F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x + \frac{5}{12}.
33 puncte
Pentru aria, calculăm integrala definită a lui ∣P(x)∣|P(x)| pe [0,3][0,3]. Rădăcinile lui P(x)P(x) sunt x=1x=1 (dublă) și x=2x=2 (deoarece P(x)=(x−1)2(x−2)P(x) = (x-1)^2 (x-2)). Pe [0,1][0,1], P(x)≤0P(x) \leq 0; pe [1,2][1,2], P(x)≤0P(x) \leq 0; pe [2,3][2,3], P(x)≥0P(x) \geq 0. Aria totală este ∫01(−P(x)) dx+∫12(−P(x)) dx+∫23P(x) dx=−F(1)+F(0)+(−F(2)+F(1))+(F(3)−F(2))\int_0^1 (-P(x)) \, dx + \int_1^2 (-P(x)) \, dx + \int_2^3 P(x) \, dx = -F(1) + F(0) + (-F(2) + F(1)) + (F(3) - F(2)). Folosind F(x)F(x) găsită, calculăm: F(0)=512F(0) = \frac{5}{12}, F(1)=0F(1)=0, F(2)=164−323+10−4+512=4−323+6+512=48−128+72+512=−312=−14F(2) = \frac{16}{4} - \frac{32}{3} + 10 - 4 + \frac{5}{12} = 4 - \frac{32}{3} + 6 + \frac{5}{12} = \frac{48 - 128 + 72 + 5}{12} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}, F(3)=814−36+452−6+512=814−36+904−6+512=1714−42+512=513−504+512=1412=76F(3) = \frac{81}{4} - 36 + \frac{45}{2} - 6 + \frac{5}{12} = \frac{81}{4} - 36 + \frac{90}{4} - 6 + \frac{5}{12} = \frac{171}{4} - 42 + \frac{5}{12} = \frac{513 - 504 + 5}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}. Apoi, aria = (−0+512)+(−(−14)+0)+(76−(−14))=512+14+76+14=512+312+1412+312=2512(-0 + \frac{5}{12}) + ( -(-\frac{1}{4}) + 0 ) + (\frac{7}{6} - (-\frac{1}{4})) = \frac{5}{12} + \frac{1}{4} + \frac{7}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} + \frac{14}{12} + \frac{3}{12} = \frac{25}{12}.
42 puncte
Aria mărginită este 2512\frac{25}{12} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.