MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X4+aX3+bX2+cX+dP(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d cu coeficienți reali. Se știe că P(i)=0P(i) = 0 și P(1+i)=0P(1+i) = 0, unde i2=−1i^2 = -1. Determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d și scrieți polinomul în formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă ii este rădăcină, atunci și conjugata −i-i este rădăcină. Similar, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci 1−i1-i este rădăcină.
22 puncte
Polinomul se poate scrie ca P(X)=(X−i)(X+i)(X−(1+i))(X−(1−i))P(X) = (X-i)(X+i)(X-(1+i))(X-(1-i)).
31 punct
Calculăm (X−i)(X+i)=X2+1(X-i)(X+i) = X^2 + 1.
42 puncte
Calculăm (X−(1+i))(X−(1−i))=(X−1−i)(X−1+i)=(X−1)2−i2=(X−1)2+1=X2−2X+2(X-(1+i))(X-(1-i)) = (X-1-i)(X-1+i) = (X-1)^2 - i^2 = (X-1)^2 + 1 = X^2 - 2X + 2.
52 puncte
Înmulțim: (X2+1)(X2−2X+2)=X4−2X3+2X2+X2−2X+2=X4−2X3+3X2−2X+2(X^2 + 1)(X^2 - 2X + 2) = X^4 - 2X^3 + 2X^2 + X^2 - 2X + 2 = X^4 - 2X^3 + 3X^2 - 2X + 2.
61 punct
Identificăm coeficienții: a=−2a = -2, b=3b = 3, c=−2c = -2, d=2d = 2, iar forma factorizată este P(X)=(X2+1)(X2−2X+2)P(X) = (X^2 + 1)(X^2 - 2X + 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.