MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu rădăcinile complexe x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Știind că x1+x2+x3=1x_1 + x_2 + x_3 = 1, x12+x22+x32=3x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 3, și x13+x23+x33=1x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 1, să se determine coeficienții a,b,ca, b, c și rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrierea relațiilor lui Vietè: a=−(x1+x2+x3)=−1a = -(x_1 + x_2 + x_3) = -1, b=x1x2+x2x3+x3x1b = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1, c=−x1x2x3c = -x_1 x_2 x_3.
23 puncte
Utilizarea identităților: x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) și x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−3(x1+x2+x3)(x1x2+x2x3+x3x1)+3x1x2x3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 - 3(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) + 3x_1 x_2 x_3.
32 puncte
Din date, 3=12−2b  ⟹  b=−13 = 1^2 - 2b \implies b = -1 și 1=13−3⋅1⋅(−1)+3(−c)  ⟹  1=1+3−3c  ⟹  3c=3  ⟹  c=11 = 1^3 - 3 \cdot 1 \cdot (-1) + 3(-c) \implies 1 = 1 + 3 - 3c \implies 3c = 3 \implies c = 1.
42 puncte
Coeficienții sunt a=−1a = -1, b=−1b = -1, c=1c = 1, deci P(X)=X3−X2−X+1P(X) = X^3 - X^2 - X + 1. Rădăcinile se găsesc factorizând: P(X)=(X−1)(X2−1)=(X−1)2(X+1)P(X) = (X-1)(X^2 - 1) = (X-1)^2 (X+1), deci x1=x2=1x_1 = x_2 = 1 și x3=−1x_3 = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.