MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+px2+qx+rP(x) = x^3 + px^2 + qx + r cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este o rădăcină a polinomului, că P(2)=10P(2) = 10 și că produsul rădăcinilor este 8, determinați coeficienții p,q,rp, q, r.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină.
23 puncte
Fie a treia rădăcină α\alpha. Produsul rădăcinilor: (1+i)(1−i)α=2α=8(1+i)(1-i)\alpha = 2\alpha = 8, deci α=4\alpha = 4.
32 puncte
Suma rădăcinilor: (1+i)+(1−i)+4=6(1+i)+(1-i)+4 = 6, iar pentru polinomul x3+px2+qx+rx^3 + px^2 + qx + r, suma rădăcinilor este −p-p, deci −p=6⇒p=−6-p=6 \Rightarrow p=-6.
42 puncte
Produsul rădăcinilor este −r-r, deci 8=−r⇒r=−88 = -r \Rightarrow r=-8. Folosind P(2)=10P(2)=10, avem 8+4p+2q+r=108 + 4p + 2q + r = 10. Înlocuind p=−6p=-6 și r=−8r=-8, obținem 8−24+2q−8=10⇒−24+2q=10⇒2q=34⇒q=178 -24 + 2q -8 = 10 \Rightarrow -24 + 2q = 10 \Rightarrow 2q = 34 \Rightarrow q=17.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.