MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie P(x)P(x) un polinom de gradul 3 cu coeficienți reali. Știind că una dintre rădăcini este 1+2i1+2i și că P(0)=10P(0) = 10, determinați polinomul P(x)P(x) și celelalte rădăcini.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcina complexă 1+2i1+2i are conjugata 1−2i1-2i ca rădăcină. Factorul corespunzător este (x−(1+2i))(x−(1−2i))=x2−2x+5(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = x^2 - 2x + 5.
23 puncte
Scriem P(x)=(x2−2x+5)(x−r)P(x) = (x^2 - 2x + 5)(x - r), unde rr este rădăcina reală. Din P(0)=10P(0) = 10, avem 5⋅(−r)=−5r=105 \cdot (-r) = -5r = 10, deci r=−2r = -2.
32 puncte
Polinomul devine P(x)=(x2−2x+5)(x+2)=x3+2x2−2x2−4x+5x+10=x3+x+10P(x) = (x^2 - 2x + 5)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + 5x + 10 = x^3 + x + 10. Se verifică P(0)=10P(0)=10.
42 puncte
Rădăcinile sunt 1+2i1+2i, 1−2i1-2i, și −2-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.