MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X4+4P(X) = X^4 + 4. Să se determine toate rădăcinile complexe ale acestui polinom și să se calculeze suma S=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+∣z4∣2S = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + |z_4|^2, unde z1,z2,z3,z4z_1, z_2, z_3, z_4 sunt rădăcinile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem ecuația X4=−4X^4 = -4. Exprimăm −4-4 în formă trigonometrică: −4=4(cos⁡π+isin⁡π)-4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi). Aplicăm formula pentru rădăcinile de ordinul nn: zk=44(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)z_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right), pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
23 puncte
Calculăm 44=2\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}. Obținem rădăcinile: z0=2(cos⁡π4+isin⁡π4)=1+iz_0 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 1 + i, z1=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)=−1+iz_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = -1 + i, z2=2(cos⁡5π4+isin⁡5π4)=−1−iz_2 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = -1 - i, z3=2(cos⁡7π4+isin⁡7π4)=1−iz_3 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) = 1 - i.
33 puncte
Modulul fiecărei rădăcini este ∣zk∣=2|z_k| = \sqrt{2}, deci ∣zk∣2=2|z_k|^2 = 2. Suma S=4×2=8S = 4 \times 2 = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.