MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+px2+qx+rP(x) = x^3 + px^2 + qx + r cu coeficienți reali. Rădăcinile sale x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie geometrică. Dacă P(1)=0P(1) = 0 și P(2)=6P(2) = 6, determinați polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului în progresie geometrică ca ak,a,ak\frac{a}{k}, a, ak, cu a∈Ra \in \mathbb{R}, k∈Ck \in \mathbb{C}, k≠0k \neq 0.
23 puncte
Din condițiile P(1)=0P(1)=0 și P(2)=6P(2)=6, obținem ecuațiile 1+p+q+r=01 + p + q + r = 0 și 8+4p+2q+r=68 + 4p + 2q + r = 6.
32 puncte
Folosind relațiile lui Viète, exprimăm p,q,rp, q, r în funcție de aa și kk: p=−a(1k+1+k)p = -a\left(\frac{1}{k} + 1 + k\right), q=a2(1k+1+k)q = a^2\left(\frac{1}{k} + 1 + k\right), r=−a3r = -a^3.
42 puncte
Substituim expresiile pentru p,q,rp, q, r în ecuațiile de la step 2 și rezolvăm sistemul, obținând a=1a=1, kk satisfăcând 2k2+k+2=02k^2 + k + 2=0 (deci kk complex), și valorile p=−12p = -\frac{1}{2}, q=12q = \frac{1}{2}, r=−1r = -1, deci P(x)=x3−12x2+12x−1P(x) = x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.