MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Se consideră polinomul P(X)=X3−(1+i)X2+2iX−2iP(X) = X^3 - (1+i)X^2 + 2iX - 2i, unde i2=−1i^2 = -1. a) Verificați că X=1X = 1 este rădăcină a polinomului. b) Determinați toate rădăcinile complexe ale polinomului. c) Scrieți polinomul ca produs de factori ireductibili peste C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Înlocuim X=1X = 1 în P(X)P(X): P(1)=13−(1+i)⋅12+2i⋅1−2i=1−(1+i)+2i−2i=1−1−i+2i−2i=0P(1) = 1^3 - (1+i)\cdot1^2 + 2i\cdot1 - 2i = 1 - (1+i) + 2i - 2i = 1 - 1 - i + 2i - 2i = 0, deci 11 este rădăcină.
25 puncte
Folosind teorema împărțirii cu rest, împărțim P(X)P(X) la (X−1)(X-1). Efectuăm împărțirea: P(X)=(X−1)(X2−iX+2i)P(X) = (X-1)(X^2 - iX + 2i). Rezolvăm ecuația X2−iX+2i=0X^2 - iX + 2i = 0. Discriminantul: Δ=(−i)2−4⋅1⋅2i=−1−8i\Delta = (-i)^2 - 4\cdot1\cdot2i = -1 - 8i. Rădăcinile: X=i±−1−8i2X = \frac{i \pm \sqrt{-1-8i}}{2}. Pentru a simplifica, căutăm −1−8i\sqrt{-1-8i} sub forma a+bia+bi cu (a+bi)2=−1−8i(a+bi)^2 = -1-8i. Rezolvăm sistemul a2−b2=−1a^2 - b^2 = -1 și 2ab=−82ab = -8. Obținem a=2,b=−2a=2, b=-2 sau a=−2,b=2a=-2, b=2, deci −1−8i=±(2−2i)\sqrt{-1-8i} = \pm(2-2i). Astfel, rădăcinile sunt X=i±(2−2i)2X = \frac{i \pm (2-2i)}{2}, adică X=i+2−2i2=2−i2=1−i2X = \frac{i+2-2i}{2} = \frac{2-i}{2} = 1 - \frac{i}{2} și X=i−2+2i2=−2+3i2=−1+3i2X = \frac{i-2+2i}{2} = \frac{-2+3i}{2} = -1 + \frac{3i}{2}.
33 puncte
Polinomul factorizat este P(X)=(X−1)(X−(1−i2))(X−(−1+3i2))P(X) = (X-1)\left(X - \left(1 - \frac{i}{2}\right)\right)\left(X - \left(-1 + \frac{3i}{2}\right)\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.