MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul R(x)=x4−2x3+3x2−2x+1R(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1. Arătați că R(x)R(x) este pătratul unui polinom de gradul II și determinați rădăcinile complexe ale ecuației R(x)=0R(x)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Presupunem R(x)=(x2+px+q)2R(x) = (x^2 + px + q)^2. Dezvoltăm: (x2+px+q)2=x4+2px3+(p2+2q)x2+2pqx+q2(x^2 + px + q)^2 = x^4 + 2p x^3 + (p^2+2q)x^2 + 2pq x + q^2. Comparăm coeficienții cu R(x)R(x): {2p=−2p2+2q=32pq=−2q2=1\begin{cases} 2p=-2 \\ p^2+2q=3 \\ 2pq=-2 \\ q^2=1 \end{cases}. Rezolvăm, obținând p=−1p=-1, q=1q=1, deci R(x)=(x2−x+1)2R(x) = (x^2 - x + 1)^2.
23 puncte
Ecuația R(x)=0R(x)=0 devine (x2−x+1)2=0(x^2 - x + 1)^2 = 0, deci x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0 (cu multiplicitatea 2).
33 puncte
Rezolvăm x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0: discriminantul Δ=(−1)2−4⋅1⋅1=−3\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3, deci x=1±i32x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}. Rădăcinile complexe sunt 1+i32\frac{1 + i\sqrt{3}}{2} și 1−i32\frac{1 - i\sqrt{3}}{2}, fiecare cu multiplicitatea 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.