MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+px2+qx+rP(x) = x^3 + px^2 + qx + r cu coeficienți reali. Rădăcinile lui P(x)P(x) sunt în progresie aritmetică. Suma rădăcinilor este 6, iar produsul lor este -8. Determinați coeficienții p,q,rp, q, r.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile cu a−da-d, aa, a+da+d. Din suma rădăcinilor, (a−d)+a+(a+d)=3a=6(a-d)+a+(a+d)=3a=6, deci a=2a=2.
23 puncte
Din produsul rădăcinilor, (a−d)⋅a⋅(a+d)=a(a2−d2)=−8(a-d)\cdot a \cdot (a+d) = a(a^2 - d^2) = -8. Cu a=2a=2, obținem 2(4−d2)=−8⇒4−d2=−4⇒d2=8⇒d=±222(4-d^2)=-8 \Rightarrow 4-d^2=-4 \Rightarrow d^2=8 \Rightarrow d=\pm 2\sqrt{2}.
32 puncte
Folosind relațiile lui Viète: suma rădăcinilor =−p=6= -p = 6, deci p=−6p=-6; suma produselor a două câte două =q=(a−d)a+a(a+d)+(a−d)(a+d)=3a2−d2= q = (a-d)a + a(a+d) + (a-d)(a+d) = 3a^2 - d^2. Cu a=2a=2 și d2=8d^2=8, q=3⋅4−8=12−8=4q=3\cdot4 - 8 = 12-8=4.
42 puncte
Produsul rădăcinilor =−r=−8= -r = -8, deci r=8r=8. Astfel, p=−6p=-6, q=4q=4, r=8r=8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.