MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X4+aX3+bX2+cX+dP(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile lui PP sunt numere complexe conjugate două câte două, suma rădăcinilor este 4, suma pătratelor rădăcinilor este 10, suma cuburilor rădăcinilor este 22, iar produsul rădăcinilor este 5, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notați rădăcinile și scrieți relațiile lui Viète: −a=x1+x2+x3+x4-a = x_1+x_2+x_3+x_4, b=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4, −c=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4-c = x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4, d=x1x2x3x4d = x_1x_2x_3x_4.
23 puncte
Exprimați suma pătratelor: x12+x22+x32+x42=(x1+x2+x3+x4)2−2(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 = (x_1+x_2+x_3+x_4)^2 - 2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4) și suma cuburilor: x13+x23+x33+x43=(x1+x2+x3+x4)3−3(x1+x2+x3+x4)(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)+3(x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3 = (x_1+x_2+x_3+x_4)^3 - 3(x_1+x_2+x_3+x_4)(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4) + 3(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4).
33 puncte
Înlocuiți valorile date: suma rădăcinilor=4, deci −a=4-a=4, produsul=5, deci d=5d=5, suma pătratelor=10, deci 16−2b=10⇒b=316-2b=10 \Rightarrow b=3, suma cuburilor=22, deci 64−3⋅4⋅3+3(−c)=22⇒64−36−3c=22⇒28−3c=22⇒3c=6⇒c=264 - 3\cdot4\cdot3 + 3(-c)=22 \Rightarrow 64-36-3c=22 \Rightarrow 28-3c=22 \Rightarrow 3c=6 \Rightarrow c=2.
42 puncte
Obțineți a=−4,b=3,c=2,d=5a=-4, b=3, c=2, d=5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.