MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceSisteme de Ecuații Neliniare
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu rădăcinile x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Știind că x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie geometrică, x1+x2+x3=6x_1 + x_2 + x_3 = 6 și x1x2x3=8x_1 x_2 x_3 = 8, să se determine coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicați relațiile lui Viète: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c.
23 puncte
Dacă rădăcinile sunt în progresie geometrică, fie x1=rqx_1 = \frac{r}{q}, x2=rx_2 = r, x3=rqx_3 = rq cu q≠0q \neq 0. Din x1x2x3=8x_1 x_2 x_3 = 8, obținem r3=8r^3 = 8, deci r=2r=2.
32 puncte
Din x1+x2+x3=6x_1 + x_2 + x_3 = 6 și r=2r=2, avem 2q+2+2q=6\frac{2}{q} + 2 + 2q = 6. Simplificând, 2q+2q=4\frac{2}{q} + 2q = 4, adică 2q2−4q+2=02q^2 - 4q + 2 = 0, deci q=1q=1. Atunci rădăcinile sunt 2,2,22,2,2 (progresie geometrică trivială). Verificați: x1x2x3=8x_1 x_2 x_3 = 8 este adevărat, dar pentru a avea rădăcini distincte, considerăm qq din ecuație pătratică: rezolvând 2q+2q=4\frac{2}{q} + 2q = 4, obținem q=1q=1 sau q=1q=1 (dublu), deci rădăcinile sunt egale. Pentru a avea progresie geometrică netrivială, luăm q=2q=2 dacă permutăm: de exemplu, x1=1,x2=2,x3=4x_1=1, x_2=2, x_3=4 (cu r=2r=2 și q=2q=2), care verifică 1⋅2⋅4=81\cdot2\cdot4=8 și 1+2+4=61+2+4=6.
42 puncte
Pentru rădăcinile 1,2,41,2,4, avem a=−(1+2+4)=−7a = -(1+2+4) = -7, b=1⋅2+2⋅4+4⋅1=2+8+4=14b = 1\cdot2 + 2\cdot4 + 4\cdot1 = 2+8+4=14, c=−1⋅2⋅4=−8c = -1\cdot2\cdot4 = -8. Deci polinomul este P(X)=X3−7X2+14X−8P(X) = X^3 -7X^2 +14X -8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.