MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameInducție matematică
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul Pn(x)=xn−nx+(n−1)P_n(x) = x^n - n x + (n-1) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru cazul de bază n=1n=1. P1(x)=x1−1⋅x+(1−1)=x−x+0=0P_1(x) = x^1 - 1 \cdot x + (1-1) = x - x + 0 = 0, care este divizibil cu orice polinom, deci și cu (x−1)2(x-1)^2.
23 puncte
Presupunerea inducției: pentru un k≥1k \geq 1, Pk(x)P_k(x) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2, adică există un polinom Qk(x)Q_k(x) astfel încât Pk(x)=(x−1)2Qk(x)P_k(x) = (x-1)^2 Q_k(x).
35 puncte
Pasul inductiv: să se arate că Pk+1(x)P_{k+1}(x) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2. Observăm că Pk+1(x)=xk+1−(k+1)x+kP_{k+1}(x) = x^{k+1} - (k+1)x + k și Pk(x)=xk−kx+(k−1)P_k(x) = x^k - kx + (k-1). Atunci, Pk+1(x)−xPk(x)=[xk+1−(k+1)x+k]−[xk+1−kx2+(k−1)x]=kx2−2kx+k=k(x2−2x+1)=k(x−1)2P_{k+1}(x) - x P_k(x) = [x^{k+1} - (k+1)x + k] - [x^{k+1} - k x^2 + (k-1)x] = k x^2 - 2k x + k = k(x^2 - 2x + 1) = k(x-1)^2. Deci Pk+1(x)=xPk(x)+k(x−1)2P_{k+1}(x) = x P_k(x) + k(x-1)^2. Din presupunerea inducției, Pk(x)P_k(x) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2, deci xPk(x)x P_k(x) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2, iar k(x−1)2k(x-1)^2 evident divizibil. Prin urmare, Pk+1(x)P_{k+1}(x) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.