MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x4+px3+qx2+rx+sP(x) = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s cu coeficienți reali. Se știe că P(2−i)=0P(2-i) = 0, că P(1)=10P(1) = 10, și că suma coeficienților de grad impar (adică p+rp + r) este 0. Determinați coeficienții polinomului și rădăcinile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, din P(2−i)=0P(2-i)=0 rezultă că P(2+i)=0P(2+i)=0. Astfel, polinomul are factorul (x−(2−i))(x−(2+i))=x2−4x+5(x - (2-i))(x - (2+i)) = x^2 - 4x + 5.
22 puncte
Scriem P(x)=(x2−4x+5)(x2+ax+b)P(x) = (x^2 - 4x + 5)(x^2 + ax + b), cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.
32 puncte
Din P(1)=10P(1)=10, avem P(1)=(12−4⋅1+5)(12+a⋅1+b)=2(1+a+b)=10P(1) = (1^2 -4\cdot1 +5)(1^2 + a\cdot1 + b) = 2(1+a+b) = 10, deci a+b=4a+b=4.
42 puncte
Suma coeficienților de grad impar p+r=0p+r=0. Efectuând înmulțirea, P(x)=x4+(a−4)x3+(b−4a+5)x2+(ab−4b+5a)x+5bP(x) = x^4 + (a-4)x^3 + (b-4a+5)x^2 + (ab-4b+5a)x + 5b. Identificând, p=a−4p=a-4, r=ab−4b+5ar=ab-4b+5a. Condiția p+r=0p+r=0 devine (a−4)+(ab−4b+5a)=0(a-4) + (ab-4b+5a) = 0, adică ab+6a−4b−4=0ab +6a -4b -4=0.
51 punct
Avem sistemul: a+b=4a+b=4 și ab+6a−4b−4=0ab +6a -4b -4=0. Din prima, b=4−ab=4-a. Înlocuim în a doua: a(4−a)+6a−4(4−a)−4=0⇒4a−a2+6a−16+4a−4=0⇒−a2+14a−20=0⇒a2−14a+20=0a(4-a) +6a -4(4-a) -4=0 \Rightarrow 4a -a^2 +6a -16 +4a -4=0 \Rightarrow -a^2 +14a -20=0 \Rightarrow a^2 -14a +20=0.
61 punct
Rezolvăm ecuația: a=7±29a = 7 \pm \sqrt{29}. Atunci b=4−a=−3∓29b = 4 - a = -3 \mp \sqrt{29}. Pentru fiecare caz, calculăm coeficienții p,q,r,sp,q,r,s și rădăcinile. Rădăcinile din x2−4x+5x^2 -4x+5 sunt 2±i2 \pm i, iar din x2+ax+bx^2 + ax + b sunt soluțiile ecuației x2+ax+b=0x^2 + ax + b=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.