MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică și că P(1)=0P(1) = 0, determinați coeficienții aa, bb, cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca x1=r−dx_1 = r-d, x2=rx_2 = r, x3=r+dx_3 = r+d, unde rr și dd sunt numere reale, cu d≠0d \neq 0 pentru progresia aritmetică netrivială.
24 puncte
Aplicăm relațiile lui Viète: suma rădăcinilor x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, suma produselor a câte două rădăcini x1x2+x2x3+x3x1=bx_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = b, și produsul rădăcinilor x1x2x3=−cx_1x_2x_3 = -c. Înlocuind, obținem 3r=−a3r = -a, 3r2−d2=b3r^2 - d^2 = b, și r(r2−d2)=−cr(r^2 - d^2) = -c.
33 puncte
Din P(1)=0P(1)=0, avem 1+a+b+c=01 + a + b + c = 0. Înlocuim aa, bb, cc din step 2 și rezolvăm sistemul de ecuații pentru a găsi rr, dd, apoi aa, bb, cc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.