MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {x3+y3=9xy(x+y)=6\begin{cases} x^3 + y^3 = 9 \\ xy(x+y) = 6 \end{cases} pentru x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Determinați polinomul de gradul al doilea care are rădăcinile xx și yy și discutați natura acestora.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm s=x+ys = x+y și p=xyp = xy. Folosind identitatea x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=s3−3spx^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = s^3 - 3sp, sistemul devine {s3−3sp=9sp=6\begin{cases} s^3 - 3sp = 9 \\ sp = 6 \end{cases}.
23 puncte
Din sp=6sp = 6, substituim în prima ecuație: s3−3⋅6=9⇒s3=27⇒s=3s^3 - 3 \cdot 6 = 9 \Rightarrow s^3 = 27 \Rightarrow s = 3.
32 puncte
Din sp=6sp = 6 și s=3s = 3, obținem p=2p = 2.
42 puncte
Polinomul cu rădăcinile xx și yy este P(t)=t2−st+p=t2−3t+2P(t) = t^2 - s t + p = t^2 - 3t + 2. Discriminantul Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=1>0\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 > 0, deci polinomul are două rădăcini reale distincte, care sunt soluțiile sistemului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.