MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Fie P(X)P(X) un polinom monic de gradul 3. Știind că P(1)=2P(1)=2, P(2)=5P(2)=5, P(3)=10P(3)=10, și că restul împărțirii lui P(X)P(X) la (X−1)(X−2)(X-1)(X-2) este 3X−13X-1, determinați polinomul P(X)P(X).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece P(X)P(X) este monic de grad 3, scriem P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c. Din condițiile date: P(1)=2⇒1+a+b+c=2⇒a+b+c=1P(1)=2 \Rightarrow 1+a+b+c=2 \Rightarrow a+b+c=1; P(2)=5⇒8+4a+2b+c=5⇒4a+2b+c=−3P(2)=5 \Rightarrow 8+4a+2b+c=5 \Rightarrow 4a+2b+c=-3; P(3)=10⇒27+9a+3b+c=10⇒9a+3b+c=−17P(3)=10 \Rightarrow 27+9a+3b+c=10 \Rightarrow 9a+3b+c=-17.
24 puncte
Restul împărțirii la (X−1)(X−2)(X-1)(X-2) este 3X−13X-1, deci există un polinom Q(X)Q(X) astfel încât P(X)=(X−1)(X−2)Q(X)+3X−1P(X) = (X-1)(X-2)Q(X) + 3X-1. Cum P(X)P(X) este de grad 3, Q(X)Q(X) este de grad 1 și, deoarece P(X)P(X) este monic, Q(X)Q(X) este monic, deci Q(X)=X+dQ(X)=X+d. Atunci P(X)=(X2−3X+2)(X+d)+3X−1=X3+(d−3)X2+(5−3d)X+(2d−1)P(X) = (X^2-3X+2)(X+d) + 3X-1 = X^3 + (d-3)X^2 + (5-3d)X + (2d-1).
33 puncte
Comparând cu P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c, obținem a=d−3a = d-3, b=5−3db = 5-3d, c=2d−1c = 2d-1. Substituim în ecuația 9a+3b+c=−179a+3b+c=-17 din step 1: 9(d−3)+3(5−3d)+(2d−1)=−17⇒9d−27+15−9d+2d−1=−17⇒2d−13=−17⇒2d=−4⇒d=−29(d-3) + 3(5-3d) + (2d-1) = -17 \Rightarrow 9d-27+15-9d+2d-1 = -17 \Rightarrow 2d -13 = -17 \Rightarrow 2d = -4 \Rightarrow d = -2. Atunci a=−2−3=−5a = -2-3 = -5, b=5−3(−2)=11b = 5-3(-2) = 11, c=2(−2)−1=−5c = 2(-2)-1 = -5. Deci P(X)=X3−5X2+11X−5P(X) = X^3 -5X^2 +11X -5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.