MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeGeometrie Analitică
Se consideră polinomul P(x)=x4+4P(x) = x^4 + 4. Să se determine toate rădăcinile complexe ale acestui polinom și să se demonstreze că acestea sunt vârfurile unui pătrat în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem x4+4=0x^4 + 4 = 0 și folosim descompunerea x4+4=(x2+2x+2)(x2−2x+2)x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2). Rezolvăm ecuațiile pătratice: x2+2x+2=0x^2 + 2x + 2 = 0 dă x=−1±ix = -1 \pm i, și x2−2x+2=0x^2 - 2x + 2 = 0 dă x=1±ix = 1 \pm i.
23 puncte
Rădăcinile sunt z1=−1+iz_1 = -1 + i, z2=−1−iz_2 = -1 - i, z3=1+iz_3 = 1 + i, z4=1−iz_4 = 1 - i. Le exprimăm sub formă algebrică și identificăm coordonatele în planul complex: (−1,1)(-1,1), (−1,−1)(-1,-1), (1,1)(1,1), (1,−1)(1,-1).
32 puncte
Calculăm distanțele dintre puncte: ∣z1−z2∣=2|z_1 - z_2| = 2, ∣z3−z4∣=2|z_3 - z_4| = 2, ∣z1−z3∣=22|z_1 - z_3| = 2\sqrt{2}, ∣z2−z4∣=22|z_2 - z_4| = 2\sqrt{2}, ∣z1−z4∣=2|z_1 - z_4| = 2, ∣z2−z3∣=2|z_2 - z_3| = 2. Observăm că laturile consecutive au lungimea 22 și diagonalele 222\sqrt{2}.
42 puncte
Concluzionăm că punctele sunt vârfurile unui pătrat (patrulater cu toate laturile egale și unghiuri drepte, deoarece 22+22=(22)22^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.